Корисник:РенатоТру/превод2

Витали скуп

У математици, Витали скуп је елементаран пример скупа реалних бројева који није Лебесгуов мерљив, а пронашао га је Ђузепе Витали 1905. године. Виталијева теорема је теорема о постојању таквих скупова. Сваки Витали скуп је непребројив, а постоји непребројиво много Витали скупова. Доказ њихове постојаности зависи од аксиома избора.

Мерљиви скупови

Неки скупови имају јасно дефинисану "дужину" или "масе". На пример, интервал [0,1] се сматра да има дужину 1; генерално, интервал [а,б], где је а≤б, се сматра да има дужину б−а. Ако замислимо такве интервале као металне шипке са униформном густином, оне такође имају добро дефинисане масе. Скуп [0,1]∪[2,3] се састоји од два интервала дужине 1, па узимамо његову укупну дужину као 2. У смислу масе, имамо две шипке масе 1, па је укупна маса 2.

Постоји природно питање: ако је Е произвољан подскуп реалне линије, да ли он има "масу" или "укупну дужину"? Као пример, можемо питати која је маса скупа рационалних бројева између 0 и 1, с обзиром на то да маса интервала [0,1] износи 1. Рационални бројеви су густи у реалним бројевима, па било која вредност између и укључујући 0 и 1 може изгледати разумно.

Међутим, најближа генерализација за масу је сигма-адитивност, која доводи до Лебесгуове мере. Она додељује меру б−а за интервал [а,б], али додељује меру 0 скупу рационалних бројева, јер су они бројиви. Сваки скуп који има добро дефинисану Лебесгуову меру назива се "мерљивим", али конструкција Лебесгуове мере (на пример, коришћењем Каратодоријевог проширења) не чини очигледним постојање немерљивих скупова. Одговор на то питање зависи од аксиома избора.

Конструкција и доказ

Витали скуп је подскуп интервала [0,1] реалних бројева такав да, за сваки реални број р, постоји тачно један број в∈В такав да је в−р рационалан број. Виталијеви скупови постоје зато што рационални бројеви Q чине нормалну подгрупу реалних бројева Р под сабирањем, а то омогућава конструкцију адитивне количне групе Р/Q ових двају група, која је група формирана косетама р+Q рационалних бројева као подгрупе реалних бројева под сабирањем. Ова група Р/Q се састоји од дисјунктних "померених копија" Q у том смислу да је сваки елемент ове количне групе скуп облика р+Q за неки р∈Р. Непребројиво много елемената групе Р/Q дели Р на дисјунктне скупове, а сваки елемент је густ у Р. Сваки елемент групе Р/Q пресијеца интервал [0,1], а аксиом избора гарантује постојање подскупа [0,1] који садржи тачно један представник из сваког елемента групе Р/Q. Скуп који се на овај начин формира назива се Витали скуп.

Сваки Витали скуп V је ненаводив, а разлика в−у је ирационална за било која два различита броја у,в∈В.

Немогућност мерљивости

Витали скуп је немерљив. Да бисмо то показали, претпостављамо да је V мерљив и изводимо контрадикцију. Нека су q1,q2,… енумерација рационалних бројева у [−1,1] (подсећамо да су рационални бројеви бројиви). Из конструкције V можемо показати да су преведени скупови

Вк=V+qк={в+qк:в∈В}, к=1,2,… међусобно дисјунктни. (Ако није, постојали би различити в,у∈В и к,ℓ∈Н такви да в+qк=у+qℓ, што имплицира да је в−у=qℓ−qк∈Q, што је контрадикција.)

Даље, приметимо да:

[0,1]⊆к⋃Вк⊆[−1,2]. Да бисмо доказали прву инклузију, узмимо било који реални број р∈[0,1] и нека је в представник у V за еквиваленцијску класу [р]; тада р−в=qи за неки рационални број qи∈[−1,1], што имплицира да је р у Ви.

Примена Лебесгуове мере на ове инклузије коришћењем сигма-адитивности даје:

1≤к=1∑∞λ(Вк)≤3. Пошто је Лебесгуова мера инваријантна на транслацију, имамо λ(Вк)=λ(V) и стога:

1≤к=1∑∞λ(V)≤3. Међутим, ово је немогуће. Сумарно бесконачно много копија константне λ(V) даје или нулу или бесконачност, у зависности од тога да ли је константа нула или позитивна. Ни у једном случају сума није у интервалу [1,3]. Дакле, V не може бити мерљив, тј. Лебесгуова мера λ не може дефинисати вредност за λ(V).

Особине

Нити један Витали скуп нема својство Баир-а.

Модификовањем горе наведеног доказа може се показати да сваки Витали скуп има Банахову меру 0. Ово не ствара контрадикције, јер Банахове мере нису бројиво адитивне, већ само коначно адитивне.

Улога аксиома избора

Конструкција Виталијевих скупова коју смо навели користи аксиом избора. Питање је: да ли је аксиом избора потребан да би се доказало постојање скупова који нису Лебесгуови мерљиви? Одговор је да, под условом да су недостижни кардинали у складу са најчешћом аксиоматизацијом теорије скупова, тзв. ЗФЦ.

Године 1964, Роберт Соловаy је конструктовао модел Зермело–Фраенкелове теорије скупова без аксиома избора, где су сви скупови реалних бројева Лебесгуови мерљиви. Овај модел је познат као Соловаyев модел. У свом доказу, Соловаy је претпоставио да постојање недостижних кардинала не изазива контрадикције у другим аксиомима теорије скупова, што се широко верује да је тачно, али не може бити доказано у самом ЗФЦ-у.

Године 1980, Сахарон Схелах је доказао да није могуће успоставити Соловаyеве резултате без његове претпоставке о недостижним кардиналима.