Korisnik:RenatoTru/prevod1

Ramanujanov prost broj

Ramanujanov prost broj Nema nikakve veze sa Hardy–Ramanujanovim brojem.

U matematici, Ramanujanov prost broj je prost broj koji zadovoljava rezultat koji je dokazao Srinivasa Ramanujan, a koji se odnosi na funkciju brojanja prostih brojeva.

Poreklo i definicija

Godine 1919, Ramanujan je objavio novi dokaz Bertrandove postulate koji je, kako napominje, prvi put dokazao Čebišev. Na kraju svog dvostraničnog rada, Ramanujan je izveo generalizovani rezultat, koji je:

π(x)−π(2x)≥1,2,3,4,5,… za sve x≥2,11,17,29,41,… gde je π(x) funkcija raspodele prostih brojeva, koja daje broj prostih brojeva manjih ili jednakih od x.

Suprotno ovom rezultatu je definicija Ramanujanovih prostih brojeva:

n-ti Ramanujanov prost broj je najmanji ceo broj Rn za koji važi:

π(x)−π(2x)≥n, za sve x≥Rn. Drugim rečima, Ramanujanovi prosti brojevi su najmanji brojevi Rn za koje postoji najmanje n prostih brojeva između x i x/2 za sve x≥Rn.

Prvih pet Ramanujanovih prostih brojeva su dakle: 2, 11, 17, 29 i 41.

Napomena: Ceo broj Rn je nužno prost broj, jer π(x)−π(x/2) mora da se poveća dodavanjem još jednog prostog broja kada x=Rn. Budući da π(x)−π(x/2) može da poraste za najviše 1, važi:

π(Rn)−π(2Rn)=n.

Granice i asimptotska formula

Za sve n≥1 važe sledeće granice:

2nln(2n)<Rn<4nln(4n). Ako je n>1, takođe važi:

p2n<Rn<p3n, gde je pn n-ti prost broj.

Kako n teži beskonačnosti, Rn je asimptotski jednak 2n-tom prostom broju, tj.:

Rn∼p2n (kako n→∞). Svi ovi rezultati dokazani su od strane Sondowa (2009), osim gornje granice Rn<p3n, koju je pretpostavio i dokazao Laishram (2010). Granica je poboljšana od strane Sondowa, Nicholsona i Noea (2011) na:

Rn≤41/47p3n, što je optimalna forma Rn≤c⋅p3n, jer je jednako za n=5.